第一章

本章涵盖了数系统和计算机图形学基础、二维笛卡尔数学、三维笛卡尔数学以及先决条件复习。

1D 数学

数学定义：

自然数：通常称为计数数, 几千年前为了方便计算物体的数量发明了 0、1、2、3、4... 这样的数，涵盖了 0 和正整数。
整数：当物品被卖掉的时候迫使人们发现了债务和负数的重要概念，卖掉一件物品被标记成"负一"物品，从而负整数、0、正整数被统称为整数。
有理数：当人们的拥有和负债不在是完整的 1 个，或是一半、或是四分之一。这导致了分数的出现 1/2、1/4。但是人类为了追求简便发明了分数十进制表示法，例如写“3.1415”而不是更长、更乏味的 31415/10000。所以整数和分数 (小数)统称为有理数。
实数：当出现了一些无法表示为有理数的数字，比如pi，这些被称为无理数的数和有理数在一起便被称为实数。

现实世界是离散的，计算机是离散的和有限的

什么是离散？

是指由分离的、不连续的元素或个体组成，这些元素或个体之间有明显的间隔或界限。与连续相对，连续是指元素或个体之间没有明显的间隔，可以无限制地接近。

可数性：离散的元素或个体是可数的，即可以用自然数（1, 2, 3, ...）来一一对应。
分离性：离散的元素或个体之间是分离的，彼此之间有明确的界限，不会相互融合。
不连续性：离散的元素或个体在空间或时间上是不连续的，它们不会形成一个连续的序列或范围。所以整数是离散的，因为每个整数都是分离的、可数的，并且整数之间有明确的界限。

现实世界中的离散性指的是世界中存在许多离散的、可数的元素和现象。这些元素和现象可以被单独地识别和计数，而不是构成一个连续的、不可分割的整体。例如，人的年龄、人口数量、物体的数量等都是离散的，因为它们可以被表示为具体的、可数的数值。计算机的离散性源于其基本的结构和工作原理，即由0和1组成的数据，因此计算机只能处理离散的数据。

基础数学

累加求和

i 称为索引变量，求和符号上方和下方的表达式告诉我们执行“循环”的次数以及每次迭代期间要使用的。

i = 1 \sum 6 a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} .

在代码等同于:

func var a(int i);

var sum = 0;
for(int i=1,i<=6,i++){
    sum += a(i);
}

∑求和表示法也称为西格玛表示法，因为看起来像 E 的酷炫符号是希腊字母西格玛的大写版本。

区别累加和阶加“∑”是累加符号，而阶加符号为"？"，记为

5 ? = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.

同时它也能够被求和符号表示为：

n ? = i = 1 \sum n i .

乘积累乘

当我们取一系列值的乘积时，使用类似的表示法，只是我们使用符号“∏”，这是字母“π”的大写。

i = 1 \prod n a_{i} = a_{1} \times a_{2} \times \dots \times a_{n - 1} \times a_{n} .

代码等同于：

func var a(int i);

var sum = 0;
for(int i=1,i<=n,i++){
    sum *= a(i);
}

区别累乘符号“∏”和阶乘“!”，阶乘被标示为

n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n

同时他也能被累乘表示为：

n! = k = 1 \prod n k \forall n \geq 1

区间表示

[a, b] 的意思是“从 a 到 b”，读作“所有数字 x，使得 a≤x ≤b”，同时这也是向量表示方法 (a, b) 读作“所有数字 x，使得 a＜x ＜b”，同时这也是二维点表示方法。同时也有可能出现半开放区间 [a, b) 、(a, b] 如果一端是无限的则记为 [a, ∞)。

表示角度

角度的变量通常被分配为希腊字母“θ”，指定角度的最重要的测量单位是度（°）和弧度（rad）

当我们以弧度为单位指定两条光线之间的角度时，我们实际上是在测量单位圆（以半径为 1 的原点为中心的圆）的截获弧的长度 //

1 rad 1^{\circ} = (\frac{180}{π})^{\circ} \approx 57.2957 8^{\circ}, = (\frac{π}{180}) rad \approx 0.01745329 rad .

数字 360 是一个相对武断的选择，它可能起源于原始历法，例如波斯历法，它将一年分为 360 天。这个错误从未被纠正为 365，因为数字 360 非常方便。数字 360 有多达 22 个除数（不包括自身和 1）：2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120 和 180。这意味着 360 度可以在大量情况下平均分配，而不需要分数，这对早期文明来说显然是一件好事。早在公元前 1750 年，巴比伦人就设计了一种六十进制（以 60 为基数）的数字系统。数字 360 也足够大，因此在许多情况下，精确到最接近的整度就足够了。

三角函数

点的坐标具有特殊性，并且在数学上特别重要，以至于他们被赋予了特殊函数。余弦 cosθ = x,正弦 sinθ = y。割线、余割线、切线和余切线也是有用的三角函数

sec θ csc θ = \frac{1}{cos θ}, = \frac{1}{sin θ}, tan θ cot θ = \frac{sin θ}{cos θ}, = \frac{1}{tan θ} = \frac{cos θ}{sin θ} .

hyp 、adj 、opp 分别指斜边、相邻边和侧边的长度。 //

cos θ sec θ = \frac{adj}{hyp}, = \frac{hyp}{adj}, sin θ csc θ = \frac{opp}{hyp}, = \frac{hyp}{opp}, tan θ cot θ = \frac{opp}{adj}, = \frac{adj}{opp} .

对于钝角，我们使用 x、y、r 表示比率 //

cos θ sec θ = \frac{x}{r}, = \frac{r}{x}, sin θ csc θ = \frac{y}{r}, = \frac{r}{y}, tan θ cot θ = \frac{y}{x}, = \frac{x}{y} .

该表显示了几个不同的角度，以度数和弧度表示，以及它们的主三角函数的值。 //

根据单位圆的对称性，可以推到许多恒等式：

sin (- θ) sin (\frac{π}{2} - θ) = - sin θ, = cos θ, cos (- θ) cos (\frac{π}{2} - θ) = cos θ, = sin θ, tan (- θ) tan (\frac{π}{2} - θ) = - tan θ, = cot θ .

勾股定理

a^{2} + b^{2} = c^{2} .

通过将勾股定理应用于单位圆，可以推导出恒等式

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1, 1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ, 1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ .

sin (a + b) sin (a - b) cos (a + b) cos (a - b) tan (a + b) tan (a - b) = sin a cos b + cos a sin b, = sin a cos b - cos a sin b, = cos a cos b - sin a sin b, = cos a cos b + sin a sin b, = \frac{tan a + tan b}{1 - tan a tan b}, = \frac{tan a - tan b}{1 + tan a tan b} .

当 a 和 b 相等的时候，可得到以下恒等式

sin 2 θ cos 2 θ tan 2 θ = 2 sin θ cos θ, = cos^{2} θ - sin^{2} θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ, = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ} .

以下恒等式适用于任何三角形，而不仅仅是直角三角形。 //

\frac{sin A}{a} a^{2} b^{2} c^{2} = \frac{sin B}{b} = \frac{sin C}{c}, = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A, = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos B, = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C .

计算机图形学第一定律

如果它看起来是对的，它就是对的。

2D笛卡尔空间

计算机中最常使用表示空间的框架称为笛卡尔坐标系。

笛卡尔数学是由一位杰出的法国哲学家、物理学家、生理学家和数学家勒内·笛卡尔发明的（并以他的名字命名），他生活在 1596 年至 1650 年之间。

该图是 2D 笛卡尔坐标系的示意图 // 二维笛卡尔坐标空间由两条信息定义：

二维笛卡尔坐标空间都有一个特殊的位置，称为原点，它是坐标系的“中心”。
每个二维笛卡尔坐标空间都有两条穿过原点的直线。每条线被称为一个轴，在两个相反的方向上无限延伸。两个轴彼此垂直。

本可以使用向右为+x、向上+y 的标准笛卡尔坐标系规划一切走向，但有时规划者有时会已任何方便的方式定位轴。例如计算机处理屏幕图像时通常使用如下的坐标系，它的原点位于左上角+x 指向右侧，+y 指向下方。 // 这种被称作屏幕坐标空间、设备坐标或者是物理坐标的空间设定，源自于早期的阴极射线管显示器，方便从左上角向右一行一行扫描，也是为了和代表像素的二维数组形成对应关系，方便阅读。