第四章

从数学和几何的角度引入矩阵，并展示了矩阵是线性变换背后数学的紧凑表示法。

矩阵为 3 D 数学定义一种坐标空间变换的计算方式。

矩阵的数学定义

向量是标量数组，矩阵是数组向量。矩阵只是一种紧凑的记录方式

矩阵维数和表示法 Matrix

具有 $r$ 行和 $c$ 列的矩阵是 $r \times c$ （读作“ $r$ by $c$ “）矩阵。

m_{11} m_{21} m_{31} m_{12} m_{22} m_{32} m_{13} m_{23} m_{33}

符号 $m_{ij}$ 表示 $M$ 中位于 $i$ 行和 $j$ 列的元素。矩阵使用基于 1 的索引，因此第一行和第一列编号为 1。

方阵 Square Matrices

方阵的对角元素是行索引和列索引相同的元素。例如， 3×3矩阵 $M$ 的对角线元素是 $m_{11}$ 、 $m_{22}$ 和 $m_{33}$ 。其他元素是非对角元素。

对角矩阵

如果矩阵中的所有非对角元素都为零，则该矩阵是对角矩阵。

单位矩阵

一个特殊的对角矩阵是单位矩阵。维度 n 的单位矩阵（表示为 $I_{n}$ ）是 $n \times n$ 矩阵，对角线上为 1，其他位置为 0。

I_{3} = 100010001

通常，上下文会明确特定情况下使用的单位矩阵的维数。在这些情况下，我们省略下标并将单位矩阵简单地称为 $I$ 。

向量矩阵

矩阵可以具有任意正数的行和列，包括一。我们已经遇到过一行或一列的矩阵：向量！维度 $n$ 的向量可以被视为 $1 \times n$ 矩阵，或 $n \times 1$ 矩阵。前者矩阵称为行向量，后者矩阵称为列向量。行向量水平书写，列向量垂直书写：

[123] 456

矩阵转置

给定一个 $r \times c$ 矩阵 $M$ ， $M$ 的转置（表示为 $M^{T}$ ）是 $c \times r$ 矩阵，其中列由 $M$ 的行组成。换句话说， $M_{ij}^{T} = M_{ji}$ 。这会沿对角线“翻转”矩阵。对于向量，转置将行向量转换为列向量，反之亦然：

[x y z]^{T} = x y z x y z^{T} = [x y z]

任何矩阵的转置矩阵再次转置就得到了原矩阵。

(M^{T})^{T} = M

任何对角矩阵 $D$ 都等于其转置： $D^{T} = D$ 。这包括单位矩阵 $I$ 。

斜对称矩阵

如果 $A^{T} = - A$ 成立，则矩阵是斜对称的，这也意味着斜对称矩阵的对角线元素必须为 0。

矩阵与标量相乘

矩阵 $M$ 可以与标量 k 相乘，得到与 $M$ 维度相同的矩阵。

k M = k m_{11} m_{21} m_{31} m_{41} m_{12} m_{22} m_{32} m_{42} m_{13} m_{23} m_{33} m_{43} = k m_{11} k m_{21} k m_{31} k m_{41} k m_{12} k m_{22} k m_{32} k m_{42} k m_{13} k m_{23} k m_{33} k m_{43}

两个矩阵相乘

$r \times n$ 矩阵 $A$ 可以乘以 $n \times c$ 矩阵 $B$ 。结果表示为 $AB$ ，是一个 $r \times c$ 矩阵。例如，假设 $A$ 是 4×2 矩阵， $B$ 是 2×5 矩阵。那么 $AB$ 是一个 4×5 矩阵： //

令矩阵 $C = AB$ ，那么每个元素 $c_{ij}$ 等于 $A$ 的行 $i$ 与 $B$ 。

C_{ij} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{kj}

任意矩阵乘以单位矩阵或者被单位矩阵相乘都会得到原矩阵。

MI = IM = M

矩阵乘法不可交换。一般来说:

AB \neq = BA

矩阵乘法结合率:

(AB) C = A (BC)

矩阵乘法还与标量或向量的乘法相关

(k A) B = k (A B) = A (k B), (v A) B = v (A B) .

转置两个矩阵的乘积与按相反顺序取它们转置的乘积相同： $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$

向量与矩阵相乘

向量可以被视为具有一行或一列的矩阵，使用行向量还是列向量变得非常重要。图中内容是一系列数学公式，具体包括：

[x y z] m_{11} m_{21} m_{31} m_{12} m_{22} m_{32} m_{13} m_{23} m_{33} = [x m_{11} + y m_{21} + z m_{31} x m_{12} + y m_{22} + z m_{32} x m_{13} + y m_{23} + z m_{33}];

m_{11} m_{21} m_{31} m_{12} m_{22} m_{32} m_{13} m_{23} m_{33} x y z = x m_{11} + y m_{12} + z m_{13} x m_{21} + y m_{22} + z m_{23} x m_{31} + y m_{32} + z m_{33};

m_{11} m_{21} m_{31} m_{12} m_{22} m_{32} m_{13} m_{23} m_{33} [x y z] = (u n d e f in e d);

x y z m_{11} m_{21} m_{31} m_{12} m_{22} m_{32} m_{13} m_{23} m_{33} = (u n d e f in e d) .

向量乘矩阵乘法分布于向量加法

(v + w) M = vM + wM.

矩阵的几何解释

当标准基向量乘以任意矩阵：

iM = [100] m_{11} m_{21} m_{31} m_{12} m_{22} m_{32} m_{13} m_{23} m_{33} = [m_{11} m_{12} m_{13}]

jM = [010] m_{11} m_{21} m_{31} m_{12} m_{22} m_{32} m_{13} m_{23} m_{33} = [m_{21} m_{22} m_{23}]

kM = [001] m_{11} m_{21} m_{31} m_{12} m_{22} m_{32} m_{13} m_{23} m_{33} = [m_{31} m_{32} m_{33}]

因此任何向量都可以写成标准基的线性组合，如下所示

$v = v_{x} i + v_{y} j + v_{z} k .$

将此表达式乘以右侧矩阵

v M = (v_{x} i + v_{y} j + v_{z} kM) = (v_{x} i) M + (v_{y} j) M + (v_{z} k) M = v_{x} (iM) + v_{y} (jM) + v_{z} (kM) = v_{x} [m_{11} m_{12} m_{13}] + v_{y} [m_{21} m_{22} m_{23}] + v_{z} [m_{31} m_{32} m_{33}] .

方阵的行可以解释为坐标空间的基向量。
要将向量从原始坐标空间转换到新坐标空间，我们将向量乘以矩阵。
从原始坐标空间到这些基向量定义的坐标空间的变换是线性变换。线性变换保留直线，平行线保持平行。然而，角度、长度、面积和体积在变换后可能会改变。
将零向量乘以任何方阵都会得到零向量。因此，方阵表示的线性变换与原始坐标空间同源——变换不包含平移。
我们可以通过可视化变换后坐标空间的基向量来可视化矩阵。这些基向量在 2 D 中形成“L”，在 3 D 中形成三脚架。

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第三章

讨论了坐标系的例子以及它们如何在层次结构中嵌套。它还引入了基向量和坐标系变换的核心概念。

第五章

从数学和几何的角度引入矩阵，并展示了矩阵是线性变换背后数学的紧凑表示法。

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矩阵维数和表示法 Matrix
对角矩阵
单位矩阵

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